Weblog de Joël Riou

« Le verlan serait-il plus vieux qu'on ne le croit ? | Shiva-purâna »

Racines carrées

2008-10-28 23:39+0100 (Orsay) — Mathématiques

Comment rendre fou un algébriste ? ou à tout le moins lui faire perdre du temps ? En lui demandant de comprendre des relations surprenantes comme celle-ci (qui vient de Daniel Shanks, Incredible Identities, Fibonacci Quart. 12 (1974), 271, 280) :

[Formule utilisant des racines carrées]

Cela paraît curieux parce qu'il y a des racines de 5 d'un côté et des racines de 29 de l'autre. S'il n'est pas invraisemblable qu'il soit possible d'obtenir cette égalité en n'utilisant que des mathématiques de niveau lycée, le faire sans indication serait un supplice. Avec des mathématiques de niveau maîtrise^WM1 (théorie de Galois), on peut raisonner de façon plus méthodique. On rencontre alors naturellement le groupe de symétrie du carré, qui est le groupe diédral à huit éléments. D'après la correspondance de Galois, la combinatoire des sous-groupes de ce groupe diédral donne des informations sur les sous-extensions du corps de degré 8 qui intervient ici. La description systématique de toutes les sous-extensions fournit les formules intermédiaires dont on a besoin pour obtenir le résultat, alors que sans la théorie de Galois, on ne les verrait que comme des astuces calculatoires sorties de nulle part...

PS : Au départ, c'est un message de David mentionnant cette égalité sans commentaire qui m'a fait réfléchir pendant une bonne demi-journée dessus.

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Commentaires

1. 2008-10-30 22:51+0100 (PB)

Jolie formule. Je vais essayer "à la main"...

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